
\section{附录 \thesection: 线性映射}\label{012}
\begin{frame}{线性映射}
  线性同构是两个线性空间之间的保持线性运算的双射，线性变换是一个线性空间到自身的保持线性运算的映射：我们都看到了映射保持线性映射的重要意义。
  实际上我们还常需要考虑（或建立）不同的线性空间的映射。
既然线性空间最基本的是定义了线性运算（加法与数乘），同样地，线性空间之间的映射里保持这两个运算的映射尤为重要，这样的映射称为线性映射。
就两个线性空间而言，同构是一种很强的关系（在数学中我们认为本质上一样，如果我们只关心线性空间结构）。
虽然线性映射给出的关系相当而言要弱，但是也能给我们有用的信息。
还有一个重要的点是：矩阵可以等同于线性映射，我们可以通过线性映射的结论来推导矩阵相关的结论，反过来亦然。

  \begin{definition}
    令$V, W$是$P$-线性空间，映射$\varphi\colon V\rightarrow W$称为\emph{线性的} (linear)，若$\varphi$满足：
\begin{enumerate}
    \item $\varphi( \alpha+ \beta)=\varphi( \alpha)+\varphi( \beta)$;
      \item $\varphi(k  \alpha)=k \varphi( \alpha)$,
  \end{enumerate}
其中 $ \alpha,  \beta\in V$ 是任意向量， $k\in P$ 是任意数。

  \end{definition}

  这样线性空间$V, W$同构相当于存在$V, W$之间的线性双射；
  而$V=W$时线性映射的概念就是线性变换的概念了。
线性映射的定义要求的$\varphi$满足的两条 (1), (2) 可以合并为一条：
\begin{enumerate} 
    \setcounter{enumi}{2}
  \item 对任意的$k,l\in P$, $\alpha, \beta\in V$有
  \[
    \varphi(k\alpha + l\beta)=k\varphi(\alpha)+l\varphi(\beta).
  \]
    \end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}
我觉得线性映射也是很基本的观念，所以逮着这个机会来介绍下。当然我们这章的主角是线性变换。
  \begin{example}
  \begin{enumerate}
    \item 令$A\in P^{m\times n}$. $\varphi_A\colon P^{(n)}\rightarrow P^{(m)}, X\mapsto AX$是线性映射。

    \item 如下映射是实向量空间间的线性单射
      \[
        \varphi\colon \symbf{C}\rightarrow M_2(\symbf{R}),\quad a+b\,i\mapsto \begin{pmatrix}
          a & -b \\ b& a
        \end{pmatrix}.
      \]
  \end{enumerate}
\end{example}
  \begin{block}{线性映射的基本性质}
\begin{enumerate}
  \item 给定线性映射$\varphi\colon V\rightarrow W$, 我们有
    \begin{enumerate}
        \item $\varphi(0)=0$. （因为$\varphi(0)=\varphi(0+0)=\varphi(0)+\varphi(0)$.）
      \item $\varphi(\sum_{i=1}^n a_i \alpha_i)=\sum_{i=1}^n a_i \varphi(\alpha_i)$, 其中$a_i\in P, \alpha_i \in V$.
      \item $\varphi$是单射当且仅当$\varphi^{-1}(0)=\{0\}$.
        我们知道$\sA(0)=0$. 若$\sA$是单射，显然只有$\sA^{-1}(0)=\{0\}$. 反过来，
        设$\sA^{-1}(0)=\{0\}$. 那么对$\alpha, \beta\in V$, 
          若$\sA(\alpha)=\sA(\beta)$, 那么
          \[
            \sA(\alpha-\beta)=\sA(\alpha)-\sA(\beta)=0,
          \]
          从而$\alpha-\beta=0$, $\alpha=\beta$. 这样$\sA$是单射。

    \end{enumerate}
  \item 线性映射的复合仍线性。
即，如果$\psi\colon U\rightarrow V$, $\varphi\colon V\rightarrow W$为向量空间之间的线性映射，那么$\varphi\psi\colon U\rightarrow W$也是线性映射。

\end{enumerate}
\end{block}


\end{frame}

\begin{frame}



\begin{example}
  我们用映射的语言来描述了一个向量组何时是无关集、何时是张成集、何时是基。
  令$S$为$P$-向量空间$V$中的向量组。
映射
  \[
    \varphi\colon P^{(n)}\rightarrow V, \quad X\mapsto SX.
  \]
为线性映射，且
\begin{enumerate}
  \item $\varphi$单当且仅当$S$无关；
  \item $\varphi$满当且仅当$S$张成$V$;
  \item $\varphi$是双射当且仅当$S$为$V$的基。

\end{enumerate}
  直接用定义验证即可。
注意$S$是$V$的基时双射$\varphi$的逆映射$\varphi^{-1}$是对$\alpha\in V$取其在基$S$下的坐标向量。
\end{example}



\end{frame}


\begin{frame}{线性映射与矩阵的对应}
之前我们已经重点讨论方阵与线性变换的对应。一般地，我们有线性映射与矩阵的对应。
首先注意到列向量空间之间的线性映射都是矩阵乘诱导的。
\begin{observation*}
  设$\sA\colon P^{(n)}\rightarrow P^{(m)}$是列向量空间之间的线性映射。
  令$T(e_j)=A_j=(a_{1j},\cdots,a_{mj})^{\rT}$, 再令$A=\begin{pmatrix}
    A_1 & \cdots & A_n
  \end{pmatrix}=(a_{ij})$. 那么$\sA$在$P^{(n)}$中向量上的作用相当于用$A$乘。
\end{observation*}

实际上，
  \[
    \sA(X)=\sA\left( \sum_{i=1}^n e_j x_j \right) = \sum_{i=1}^n \sA(e_j)x_j 
    = \sum_{i=1}^n A_j x_j = AX.
\]
类似地的计算适用于线性映射$\sA\colon V\rightarrow W$, 一旦$V,W$的基取定了。

\begin{proposition}
  设$\sA\colon V\rightarrow W$, 
  $\symbb{B}=(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n)$, $\symbb{C}=(\eta_1,\cdots,\eta_m)$分别为
$V, W$的一组基。
令$X$为$V$中任一向量$v$相对于基$\symbb{B}$的坐标向量，
令$Y$为$v$的像$\sA v$相对于基$\symbb{C}$的坐标向量。
那么存在具有如下对偶性质的矩阵$A$:
\[\tag{$*$}
  \sA (\symbb{B}) = \symbb{C} A, \quad AX=Y.
\]
矩阵$A$称为\emph{线性映射$\sA$相对于两组基的矩阵} (the matrix of $\sA$ with respect to the two bases)。
($*$) 中任一个性质都刻画了此矩阵。
\end{proposition}

\end{frame}

\begin{frame}
  把$\sA (\varepsilon_i)$写成基$\symbb{C}$的线性组合，如
\[
  \sA (\varepsilon_j) = \eta_1 a_{1j} + \cdots + \eta_m a_{mj}.
\]
令$A_j=(a_{1j},\cdots,a_{mj})^{\rT}$为坐标向量，这样$\sA \varepsilon_j= \symbb{C} A_j$.
再令
\[
  A=\begin{pmatrix}
    A_1 & \cdots & A_n
  \end{pmatrix}=(a_{ij}), 
\]
我们可得
  \[
    \sA( \symbb{B}) = \left( \sA \varepsilon_1, \cdots, \sA\varepsilon_n \right)=(\eta_1, \cdots, \eta) A= \symbb{C} A.
  \]
  再者，若$v=\symbb{B} X$, 那么
  \[
    \sA (v) = \sA(\symbb{B})X =\symbb{C} A X.
  \]
  因此，$\sA(v)$的坐标向量$Y$就是$AX$.
这就证明了使得我们断言的两个性质成立的矩阵$A$的存在性。

~

同构$P^{(n)} \rightarrow V, P^{(m)}\rightarrow W$ 也可以帮助我们解释$\sA$与$A$的关系。我们可以画出如下的交换图：
  \[
    \vcenter{\hbox{
        \begin{tikzcd}[ampersand replacement=\&]
          P^{(n)}\ar[r, "A"] \ar[d,"\symbb{B}"'] \& P^{(m)} \ar[d,"\symbb{C}"] \\
          V\ar[r, "\sA"]  \& W
      \end{tikzcd}
      \hskip 3em
        \begin{tikzcd}[ampersand replacement=\&]
          X \ar[r, mapsto] \ar[d, mapsto] \& AX \ar[d, mapsto] \\
          \symbb{B} X\ar[r, mapsto] \& \symbb{C} AX
      \end{tikzcd}
    }
    }
  \]
\end{frame}

\begin{frame}
  因此有限维向量空间之间的线性映射就对应于矩阵乘。记$n$维向量空间$V$到$m$维向量空间$W$的线性映射的集合为$\Hom(V,W)$,
  那么我们有映射
  \[
    \Hom(V,W)\rightarrow P^{m\times n}:
  \]
  取定$V, W$的基后，把每个线性映射$\sA \in \Hom(V,W)$映到其在这两组基下的矩阵。
  容易发现，这个映射是双射，且保持加法和数乘，因而是线性空间的同构（我们能以跟线性变换时一样的方式定义线性映射上的加法和数乘）。
  另外，由下面的交换图
  \[
        \begin{tikzcd}[ampersand replacement=\&]
          P^{(k)}\ar[r, "B"] \ar[d, "\symbb{A}"'] \& P^{(n)}\ar[r, "A"] \ar[d,"\symbb{B}"'] \& P^{(m)} \ar[d,"\symbb{C}"] \\
          U \ar[r, "\sB"] \& V\ar[r, "\sA"]  \& W
      \end{tikzcd}
    \]
可知，线性映射的复合
\[
  \sA \sB\colon U\overset{\sB}{\longrightarrow} V \overset{\sA}{\longrightarrow} W
\]
对应于矩阵的乘积$AB$.
\end{frame}

\begin{frame}

  跟线性变换时一样，通过基变换，我们能做得更好：让线性映射的矩阵具有更简单的形式。
  我们来看看基变换前后线性映射映射的矩阵如何联系的（我们省略下述命题的证明）。
  \begin{proposition}
    令$A$为线性映射$\sA$相对于基$\symbb{B}, \symbb{C}$的矩阵。
    \begin{enumerate}
      \item 假设$V, W$的新基$\symbb{B}', \symbb{C}'$分别通过可逆矩阵$P, Q$与给定的基$\symbb{B}, \symbb{C}$联系的：
        $\symbb{B}' =\symbb{B} P, \symbb{C}'=\symbb{C} Q$. 那么$\sA$相对于新基的矩阵为$A'=Q^{-1}AP$.
      \item $\sA$相对于任意的基的矩阵$A'$都有形式$A'=Q^{-1}AP$, 
        其中$P, Q$是任意的（阶数没问题的）可逆矩阵。
    \end{enumerate}
  \end{proposition}
如此，$\sA$相对于不同基的矩阵是等价的。我们知道一个矩阵能等价到的最简单的形式为
标准形$\begin{pmatrix}
  E_r \\ & 0
\end{pmatrix}$, 因此这也是线性映射的矩阵能达到的最简单的形式。这点也很容易直接证明。

  ~

  对于线性变换$\sA\colon V\rightarrow V$, 我们自然地希望取$V$的一组基来讨论，而不是两组基。
  两边的$V$取同一组基时，我们就可恢复第 2 节中对线性变换的讨论结果了。
\end{frame}

\iffalse
\begin{frame}
  下面我们来举个例子说明如何用线性映射来推导关于矩阵的事实。

  \begin{theorem}
    矩阵的行秩、列秩、秩相等。
  \end{theorem}
\end{frame}
\fi


\section{附录 \thesection: 维数公式}\label{013}

\begin{frame}{线性映射的值域与核}
  \begin{definition}
  设 $\mathscr{A}\colon V\rightarrow W$ 是线性空间 $V, W$ 之间的一个线性映射， 
  $\mathscr{A}$ 的全体像组成的集合称为 $\mathscr{A}$ 的\emph{值域} (range) 或\emph{像} (image)，
用 $\mathscr{A} V$ 或 $\im \sA$ 表示。 
所有被 $\mathscr{A}$ 变成零向量的向量组成的集合称为 $\mathscr{A}$ 的\emph{核} (kernel)， 
用 $\mathscr{A}^{-1}(0)$ 或 $\ker \sA$ 表示。
也就是说，
\begin{align*}
  \mathscr{A} V=\im \sA &= \{\mathscr{A}  \xi \mid  \xi \in V\},\\
  \mathscr{A}^{-1}(\symbf{0})=\ker \sA &= \{ \xi \in V\mid A  \xi=\symbf{0}\}.
\end{align*}
\end{definition}

易知线性映射$\sA\colon V\rightarrow W$的值域与核分别是 $V, W$ 的子空间\verify ，因此我们也常说\emph{像空间}和\emph{核空间}。
%事实上，由
%\[
%\mathscr{A}  \alpha+\mathscr{A}  \beta=\mathscr{A}( \alpha+ \beta), \quad k \mathscr{A}  \alpha=\mathscr{A}(k  \alpha)
%\]
%可知， $\mathscr{A} V$ 对加法与数量乘法是封闭的， 同时， $\mathscr{A} V$ 是非空的， 因此 $\mathscr{A} V$ 是 $V$ 的子空间。 由 $\mathscr{A}=\symbf{0}$ 与 $\mathscr{A}  \beta=\symbf{0}$ 可知，
%\[
%\mathscr{A}( \alpha+ \beta)=\symbf{0}, \quad \mathscr{A}(k  \alpha)=\symbf{0} .
%\]
%这就是说， $\mathscr{A}^{-1}(\symbf{0})$ 对加法与数量乘法是封闭的。 又因为 $\mathscr{A}(\symbf{0})=\symbf{0}$, 所以 $\symbf{0} \in \mathscr{A}^{-1}(\symbf{0})$, 即 $\mathscr{A}^{-1}(0)$ 是非空的。 因此， $\mathscr{A}^{-1}(0)$ 是 $V$ 的子空间。

\begin{definition}
  $\im \sA$ 的维数称为 $\mathscr{A}$ 的\emph{秩} (rank)，记作$\rank \sA$;
  $\ker \sA$ 的维数称为 $\mathscr{A}$ 的\emph{零度} (nullity)，记作$\Null \sA$.
也就是说，
\[
  \rank \sA=\dim \im \sA,\quad \Null\sA = \dim \ker \sA.
\]
\end{definition}

\begin{example}
考虑线性空间 $P[x]_{n}$上的微分算子
$
  \sD(f(x))=f^{\prime}(x).$
 $\mathscr{D}$ 的值域就是 $P[x]_{n-1}$, $\mathscr{D}$ 的核就是子空间 $P$.
 特别地，$\rank \sD=n-1, \Null \sD=1$.
\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{theorem}
  \label{178}
  设 $\mathscr{A}\colon V\rightarrow W$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 到$m$维线性空间$W$的线性映射， $\symbb{B}=( \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n})$, $\symbb{C}=(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_m)$ 分别是 $V, W$ 的一组基，在这两组基下 $\mathscr{A}$ 的矩阵是 $ A$, 则
  \[
  \ker \sA=\{\symbb{B} X\mid X\in P^{(n)}, AX=0\},\quad \im \sA=\{\symbb{C} Y\mid Y\in \Span_c A\}.
  \]
  特别地，
  \[
    \Null \sA = n-\rank A,\quad \rank \sA=\rank A.
  \]
%\begin{enumerate}
%  \item  $\mathscr{A}$ 的值域 $\mathscr{A} V$ 是由基像组生成的子空间， 即
%    \[
%    \mathscr{A} V=L\left(\mathscr{A} \varepsilon_{1}, \mathscr{A} \varepsilon_{2}, \cdots, \mathscr{A} \varepsilon_{n}\right) ;
%\]
%\item $\rank \sA=\rank A$.
%\end{enumerate}
\end{theorem}

%此定理说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持秩不变。
%\begin{proof}
%  \begin{enumerate}
%    \item 设 $\xi$ 是 $V$ 中任一向量， 可用基的线性组合表示为$\xi=\sum_{i=1}^n x_i \varepsilon_i$.
%      于是$\sA(\xi)=\sum_{i=1}^n x_i \sA(\varepsilon_i)$. 
%这个式子说明， $\mathscr{A} \xi \in L\left(\mathscr{A} \varepsilon_{1}, \mathscr{A} \varepsilon_{2}, \cdots, \mathscr{A} \varepsilon_{n}\right)$. 因此 $\mathscr{A} V$ 包含在 $L\left(\mathscr{A} \varepsilon_{1}, \mathscr{A} \varepsilon_{2}, \cdots, \mathscr{A} \varepsilon_{n}\right)$ 内。这个式子还表明基像组的线性组合还是一个像， 因此 $L\left(\mathscr{A}  \varepsilon_{1}, \mathscr{A}  \varepsilon_{2}, \cdots, \mathscr{A}  \varepsilon_{n}\right)$ 包含在 $\mathscr{A} V$内。 这样， $\mathscr{A} V=L\left(\mathscr{A} \varepsilon_{1}, \mathscr{A} \varepsilon_{2}, \cdots, \mathscr{A} \varepsilon_{n}\right)$.
%
%\item 根据 (1), $\mathscr{A}$ 的秩等于基像组的秩。另一方面，矩阵 $ A$ 是由基像组的坐标按列排成的。 在前一章 \S8 中曾谈过， 若在 $n$ 维线性空间 $V$ 中取定了一组基之后， 把 $V$ 的每一个向量与它的坐标对应起来， 我们就得到 $V$ 到 $P^{n}$ 的同构对应。 同构对应保持向量组的一切线性关系， 因此基像组与它们的坐标组 (即矩阵 $A$ 的列向量组) 有相同的秩。
%\end{enumerate}
%\end{proof}

\begin{proof}
  对$\alpha=\symbb{B} X\in V$, $\sA \alpha=\symbb{C} (AX)$. 显然$\sA \alpha=0$当且仅当$AX=0$. 因此
  $\ker \sA =\{\symbb{B} X\mid AX=0\}$.
  再考虑$\im \sA$: 
  我们有
  \[
  \begin{aligned}
      \im \sA&= \{\sA \alpha\mid \alpha\in V\} = \{\sA (\symbb{B} X )\mid X\in P^{(n)}\} \\
        &= \{\sA(\symbb{B})X\mid X\in P^{(n)}\} 
          = \{\symbb{C} AX\mid X\in P^{(n)}\} \\
            &= \{\symbb{C} Y\mid Y\in \Span_c A\}.
          \end{aligned}
\]
  进而可知，取向量在基$\symbb{B}$下的坐标向量定义的线性同构$V\rightarrow P^{(n)}, \symbb{B} X\mapsto X$将$V$的子空间$\ker\sA$同构地映到$AX=0$的解空间；取向量在基$\symbb{C}$下的坐标向量定义的线性同构$W\rightarrow P^{(m)}, \symbb{C} Y\mapsto Y$将$W$的子空间$\im\sB$同构地映到$\Span_c A$. 
  从而
  \[
    \Null \sA = \dim \ker \sA = n-\rank A,\quad \rank \sA = \dim \im \sB= \dim \Span_c A=\rank A.
  \]
\end{proof}
\end{frame}

\iffalse
\begin{frame}
  \begin{example}
    
  \end{example}
\end{frame}
\fi

\begin{frame}{维数公式（秩-零度定理）}
  由定理~\ref{178}~立得
  \begin{theorem}[维数公式]
    \label{1AF}
设 $\mathscr{A}\colon V\rightarrow W$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 到线性空间$W$的线性映射，那么
\[
  \rank \sA + \Null \sA = n.
\]
\end{theorem}
如下两个推论很有用。
\begin{corollary}\label{122}
  如定理~\ref{1AF}~设定。那么$\im \sA$ 的一组基的一组原像（基中每个向量各取一个原像）及 $\ker \sA$ 的一组基合起来就是 $V$ 的一组基。
\end{corollary}
\begin{corollary}\label{1AA}
  如定理~\ref{1AF}~设定，再设$\dim V=\dim W$.
  那么 $\sA$是单射，当且仅当$\ker \sA=\{0\}$, 当且仅当$\sA$ 是满射。
\end{corollary}
\end{frame}

\begin{frame}

  \begin{proof*}[推论~\ref{122}~的证明]
      设$\symbb{B} _1$为$V$中向量组使得$\sA \symbb{B} _1$为$\im \sA$的一组基，
  $\symbb{B} _2$为$\ker\sA$的一组基。
  向量组$\symbb{B} =(\symbb{B} _1, \symbb{B} _2)$包含了$\dim V$个向量，要证明其是$V$的一组基，只用证明$\symbb{B}$生成$V$（或者证明$\symbb{B}$线性无关）。 
  对任意的$\alpha\in V$, $\sA \alpha\in \im\sA$, 可设
  \[
    \sA \alpha=\sA(\symbb{B} _1)Y_1=\sA\left( \symbb{B} _1Y_1 \right).  
  \]
  进而有
  \[
    \sA(\alpha-\symbb{B} _1Y_1)=0.
  \]
  既然 $\alpha-\symbb{B} _1Y_1\in \ker \sA$, 可设$\alpha-\symbb{B} _1Y_1=\symbb{B} _2Y_2$. 
  $\alpha=\symbb{B} _1Y_1+\symbb{B} _2Y_2$ 表明 $\alpha$可由$\symbb{B} $线性表出。这就证明了$\symbb{B} $生成$V$.
证毕。
  \end{proof*}

  \begin{proof*}[推论~\ref{1AA}~的证明]
    $\sA$是单射当且仅当$\ker \sA=\{0\}$, 当且仅当$\Null \sA=0$,
    当且仅当$\rank \sA=\dim V=\dim W$, 当且仅当$\im \sA=W$, 即$\sA$是满射。
  \end{proof*}


\end{frame}

